Proceso de Poisson

¿Qué es un Proceso de Poisson?

Un proceso de Poisson es un modelo matemático que describe la ocurrencia de eventos aleatorios en un intervalo de tiempo o espacio, bajo las siguientes condiciones:

1. Los eventos ocurren de manera independiente: La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de que ocurra otro.
2. La tasa de ocurrencia es constante: Existe una tasa promedio de eventos por unidad de tiempo o espacio, denotada como λ (lambda).
3. No ocurren dos eventos simultáneamente: En un intervalo de tiempo infinitesimal, solo puede ocurrir un evento a la vez.

Este modelo se usa en situaciones donde los eventos ocurren de manera aleatoria, pero con una frecuencia promedio conocida.

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Ejemplo Intuitivo

Imagina que trabajas en una cafetería y quieres modelar la llegada de clientes a lo largo del día.

• Si en promedio llegan 12 clientes por hora, pero no sabemos exactamente en qué momento lo harán, podemos usar un proceso de Poisson para describir cuántos clientes llegan en un periodo determinado.
• En una hora, podríamos observar 10 clientes, 15 clientes o incluso 20 clientes, pero la media a largo plazo seguirá siendo 12 clientes por hora.

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Propiedades Clave del Proceso de Poisson

1. Número de eventos en un intervalo de tiempo

   • Si los eventos ocurren con una tasa promedio λ eventos por unidad de tiempo, el número de eventos en un intervalo sigue una Distribución de Poisson: $P(X=k)=\frac{(\lambda t{)}^k{e}^{-\lambda t}}{k!},k=0,1,2,\dots$

     Donde:

     • $X$ es el número de eventos en el intervalo de tiempo $t$
     • $\lambda$ es la tasa promedio de eventos por unidad de tiempo
     • $k$ es el número de eventos observados en el intervalo
     • $e$ es la base del logaritmo natural (~2.718)

2. Tiempo entre eventos (Distribución Exponencial)

   • Si los eventos ocurren según un proceso de Poisson, entonces el tiempo entre eventos consecutivos sigue una Distribución Exponencial con parámetro $\lambda$: $f(t)=\lambda e^{-\lambda t},t\ge 0$

     Esto significa que los tiempos entre llegadas son variables y aleatorios, pero su promedio es $1/\lambda$

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Ejemplo Aplicado

Llegadas de Clientes en un Banco

Supongamos que en un banco, los clientes llegan con una tasa de 6 clientes por hora ($\lambda$ = 6 clientes/hora). Podemos responder las siguientes preguntas con el Proceso de Poisson:

• ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 8 clientes en una hora?
  Usamos la Distribución de Poisson con $\lambda =6,k=8$:
  $P(X=8)=\frac{(6^8)e^{-6}}{8!}\approx 0.103$
  Es decir, hay un 10.3% de probabilidad de que lleguen exactamente 8 clientes en una hora.

• ¿Cuánto tiempo pasa entre la llegada de un cliente y otro?

  Usamos la Distribución Exponencial con $\lambda =6$:

$f(t)=6e^{-6t}$

Esto significa que el tiempo entre llegadas promedio es 1/6 de hora (10 minutos), pero puede haber intervalos más cortos o largos debido a la aleatoriedad.

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Relación con la Simulación

En la simulación de eventos discretos, un proceso de Poisson nos ayuda a modelar la llegada de clientes, llamadas telefónicas, fallos en sistemas y muchos otros eventos.

🔹 Para generar llegadas en Excel:

=-5 * LN(RAND())

🔹 Para generar llegadas en Python:

import numpy as np
np.random.exponential(5)

donde 5 es el tiempo promedio entre llegadas o entre fallas, etc..

Este modelo es la base para la Teoría de Colas, donde analizamos cómo se comporta un sistema con múltiples servidores, tiempos de espera y utilización de recursos.

Conclusión

✅ Un proceso de Poisson modela el número de eventos en un intervalo de tiempo. ✅ El tiempo entre eventos sigue una Distribución Exponencial. ✅ Es ampliamente utilizado en la simulación de eventos discretos y la teoría de colas.

🚀 ¡Este concepto es clave para modelar sistemas como bancos, hospitales y tráfico en redes de comunicación!